ギャンブラーの破産問題を考える

数学の言葉で世界を見たら 父から娘に贈る数学 (幻冬舎単行本)

『数学の言葉で世界を見たら』 付録 - Caltech Hirosi Ooguri

コインを投げて表が出るか裏が出るかを賭けるとします。表が出たら（=p）１円もらえて、裏が出たら（=q）１円取られます。理論的には、持ち金（=m）が増えるか減るかの確率は五分五分となるはずです。しかし、カジノの経営なら胴元が必ず勝ちます。なぜでしょうか。そもそもルーレットは１から36までの数字のポケットが並び、赤黒に分けられて半分ずつになっています。そこに「0」と「00」のポケットが加わり、胴元にお金が行く仕組みです。つまり、個々のお客さんにとって、自分のポケット（=p）は18個で、自分以外のポケット（=q）が20個となるのです。この、たった2個分の差（18/38=0.47）が、ずっと賭けているうちに「破産」という結果を招くのだから不思議です。ここで、手持ち所持金（=m）の100円を、目標（=N）の150円にする確率を考えてみましょう。これが著名な「ギャンブラーの破産問題」と言われるものです。

なぜ同じ額を賭け続けてはいけないのか!?「ギャンブラーの破産問題」 | 東京カジノラボ

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第１話 補遺 - Caltech Hirosi Ooguri

結論ですが、ほんのわずかな差が圧倒的な結果を産むことになります。独立的に起こる事柄の確率は、それぞれの確率の積になります。勝つか負けるかという繰り返しは、２の累乗です。ただし、先ほどのギャンブルであれば、勝つ確率が38のポケットのうちの18なので、約「47％」。ほんのわずかですが、負ける確率の方が高くなっています。これを３回やって勝ち続ける確率は「47％x3=11％」。儲かるためには３回のうち２回勝てばいいので「47％x2+12％+12％=46％」。この時の、儲かる儲からないの差もわずかなように見えます。しかし、（Nが）十分な数を繰り返せば、勝つ確率（P）は限りなく小さくなります。もし、所持金の100円を150円に増やすまで続ける（目標=N）のだとしたら、勝つ確率は0.45％にまで減ります。逆に言えば、一文もなくなって破産してしまう確率は99.55％、こんなギャンブルは、冷静になって考えれえば、やるものではありませんね。これこそ、ギャンブルが負けるようにできていると言われる所以です。

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