統計学の基礎となる「確率」も復習しておきましょう
クイズです。日本たばこ産業（JT）が19,064人を対象にした喫煙（標本）調査にて、成人の4,137人が喫煙しているそうです。全国日本人（＝母集団）の喫煙率Rを範囲で推定してみましょう。なお、信頼度は95％を用います。ゆえに、標本集団の喫煙率 rは、標準偏差に1.96を掛けて、標本平均から引いたり（下限値）、標本平均に足したり（上限値）して求められるのです。
与えられた条件からいくと、標本の喫煙者数は4,137人（非喫煙者数は15,467人）、標本の喫煙率は21.7％、非喫煙率は78.3％です。まず、分散を求めてみましょう。分散とは、偏差の二乗平均でした。今回のクイズの場合、偏差と言っても、喫煙か非喫煙しかありませんので、二項分布にあたります。すなわち、二択しかない選択肢に対して、n 回確かめた（＝行った）ときに「喫煙」との回答を得る（＝ある事象が起こる）場合の確率分布のことです。19,064人に尋ねてみて、4,137人から「喫煙」の回答を得られたわけですから、「n=19,064」「p=21.7％」「np=4,137」と表現します。最後の「np」とは期待値を指し、分散は「np(1-p)」で求められます。標準偏差はその分散の平方根です。詳しくは、下記のサイトでも確認してください。
コイン投げから分かる二項分布。正規分布やポアソン分布との関係性と近似について | アタリマエ！
ちょっと難しいですね。コイントスで理解してみましょう。たとえば、コインを10回投げてみて表が3回出る確率を考えてみるとどうでしょう。10個のコイン（ABC・・・HIJ）から、好きなコインを3個選ぶような作業です。通常は組み合わせの公式を使いますね。敢えて原始的にやってみると、最初は10通り、次に9通り、そして8通りになります。ただし、「ABC」「ACB」「BAC」「BCA」「CAB」「CBA」のように6種類の順列セットが重複していることになりますので、この720通り（=10*9*8）を6セットで割ります。すると120通りがありえることになります。さらに、コインは表と裏しかありませんので、表が3回出る確率は「0.5（=1/2）の3乗」、裏が7回出る確率は「0.5の7乗」で表現できます。実はその公式が、「np(1-p)」です。「n=120」「p=0.125」「(1-p)=0.0078」ですから、「120*0.125*0.0078=0.117」。
話を戻します。「np(1-p)」の公式はいわゆる分散です。標本数19,064人に対して、喫煙率「p=21.7%」「(1-p)=78.3%」ですから、このまま計算すると分散は「np(1-p)=3239.2」になります。ゆえに標準偏差はその平方根である「56.9」です。このクイズを信頼度95％の範囲で求めてみると、4025人（下限）から4249人（上限）となります。 また喫煙率で求め直してみると、「21.1％～21.7％（標本の喫煙率）～22.3％」です。つまり、母集団の喫煙率Rは、標本の喫煙率 rの ±0.6％と算出されます。
ついでに、信頼度を99％に置き換えてみると、前回もやりましたが、1.96は2.58に置き換えられます。その範囲は、3990人（下限）から4284人（上限）、喫煙率で求め直すと「20.9％～21.7％（標本の喫煙率）～22.5％」、つまり、母集団の喫煙率Rは、標本の喫煙率 rの ±0.8％へと広がります。統計学とは、確率のお勉強をした上でやらないと結構苦労させられますね。
５分で分かる！確率統計「nCr」の計算方法 | あぱーブログ
